0,4 0,2 0,1 Narysować wykres dystrybuanty tej zmiennej losowej...

Pokaż mi serce nie opętane zwodniczymi marzeniami, a pokażę ci człowieka szczęśliwego.

Za pomocą dystrybuanty, obliczyć
P(X ≤ 3) i P(0 ≤ X ≤ 2).

2. Zmienna losowa X ma następujący rozkład:
xi
– 2
0
2
3
4
P(X=xi) 1/8
1/4
1/8
3/8
a
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć EX i D2X.
3. Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 3 i wariancję 4. Dla jakich wartości a i b
zmienna losowa Y = aX + b ma wartość oczekiwaną 0 i wariancję 1?
4. Za kaŜdą wpłatę 100 zł bukmacher wypłaca 8000 zł w przypadku wygranej zespołu ABC.
Szansę wygrania tego zespołu specjaliści oceniają na 0,25%. Wyznaczyć przeciętny zysk
bukmachera.
5. W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienną losową T
o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe czas
trwania rozmowy osoby telefonującej będzie:
a) dłuŜszy niŜ 10 minut,
b) dłuŜszy niŜ 5 minut i krótszy niŜ 15 minut,
c) dłuŜszy niŜ 10 minut pod warunkiem, Ŝe rozmawia juŜ co najmniej 5 minut.
6. Czas rozwiązania zadania z programowania przez losowo wybranego uczestnika
konkursu jest zmienną losową X o gęstości
 cx, gdy x ∈
f ( x) =
( ,
0 4 )
5 ,


 ,
0
gdy x ∉ ( ,
0 4 )
5 .
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uczestnik konkursu będzie rozwiązywał
zadanie krócej niŜ 30 minut.
c) Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe uczestnik konkursu będzie rozwiązywał
zadanie krócej niŜ 30 minut i dłuŜej niŜ 20 minut.
d) Wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe uczestnik konkursu będzie rozwiązywał zadanie
krócej niŜ 30 minut pod warunkiem, Ŝe rozwiązuje zadanie juŜ co najmniej 15 minut.
e) Wyznaczyć wartości dystrybuanty: F(30), F(40).
f) Wyznaczyć średni czas rozwiązania zadania przez uczestnika konkursu.
Strona 48
4
ZMIENNA LOSOWA
g) Wyznaczyć procent uczestników konkursu, którzy rozwiąŜą zadanie w czasie
krótszym niŜ 20 minut.
7. Czas dojazdu do pracy (w minutach) Pana Kowalskiego w losowo wybranym dniu jest
zmienną losową T o rozkładzie jednostajnym na przedziale [30, 60]. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) w pewnym dniu Pan Kowalski będzie w drodze do pracy co najmniej 40 minut;
b) w pewnym dniu Pan Kowalski będzie w drodze do pracy co najwyŜej 50 minut
i co najmniej 40 minut;
c) w pewnym dniu Pan Kowalski będzie w drodze do pracy co najwyŜej 50 minut
pod warunkiem, Ŝe podróŜuje juŜ co najmniej 30 minut.
W jakim zakresie czasu znajduje się:
d) 50% najdłuŜej trwających dojazdów do pracy Pana Kowalskiego;
d) 25% najdłuŜej trwających dojazdów do pracy Pana Kowalskiego;
e) średni czas dojazdu do pracy Pana Kowalskiego.
8. Z badań wagi uczestników masowych maratonów wynika, Ŝe jest ona zmienną losową
o rozkładzie normalnym o wartości średniej 60 kg i wariancji 9 kg2. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybrany uczestnik maratonu waŜy:
a) mniej niŜ 55 kg;
b) co najmniej 55 kg i co najwyŜej 65 kg.
Jaki procent uczestników maratonu ma wagę przekraczającą 66 kg?
Jaką wagę przekracza 70 % najwięcej waŜących uczestników maratonu?

9. Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników koncernu jest zmienną losową
o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 4000 zł i odchyleniem standardowym σ.
a) Wyznaczyć wartość parametru σ wiedząc, Ŝe 15,86% pracowników tego koncernu
zarabia miesięcznie nie więcej niŜ 2400 zł.
b) Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyŜsze niŜ
4000zł lecz nie przekraczające 5600 zł.

10. Długość trasy przejechanej taksówką w losowo wybranym dniu przez Pana Janka
jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 150 km i standardowym
odchyleniu 20 km .
a) Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe w ciągu dnia Pan Janek przejedzie więcej niŜ 125 km;
b) Jaki jest procent dni, w których Pan Janek przejeŜdŜa mniej niŜ 100 km.