a) P(X > 2); b) P(–1 ≤ X ≤ 25); c) P(X ≤ 5); d) P(X+5 ≥ 7)...

Pokaż mi serce nie opętane zwodniczymi marzeniami, a pokażę ci człowieka szczęśliwego.

12. Wyznaczyć dystrybuantę,
EX i VarX
zmiennej losowej X
o gęstości:
1
f ( x) =
,
x ∈ R
1
( + x 2
π
.
)
Strona 49
4
ROZDZIAŁ III
 a cos x + ,
b
gdy x ∈[− π , π ],
13. Wyznaczyć stałe a i b takie, aby funkcja: f ( x) = 
2
2

 ,
0
gdy x ∈[− π , π ],
2
2
była gęstością pewnej zmiennej losowej X.
Wyznaczyć EX, VarX oraz kwantyl rzędu 0,25.

14. Zmienna losowa ma rozkład o gęstości:

,
0
gdy x < − ,
2
 ,c
gdy − 2 ≤ x ≤
f (x) =
,
0


3
 x
gdy 0 < x ≤ ,
1

,
0
gdy x > .
1
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.
c) Obliczyć prawdopodobieństwa: P(X > –1), P(0,5 < X < 3), P(X < 0,5).
d) Wyznaczyć EX i VarX.


,
0
gdy x ≤ ,
1

15. Dana jest funkcja: (
F x) =  a
Wyznaczyć stałe a i b tak, aby funkcja
4 +
,
b
gdy 1 < x < .
4
x

,
1
gdy x ≤ .
1
F była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość tej
zmiennej.













Strona 50
5




IV Wielowymiarowe zmienne
losowe (wektory losowe)








Strona 51
5

ROZDZIAŁ IV
Wielowymiarowe zmienne losowe
(wektory losowe).



Niech (Ω,S,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Wektor (X1, X2, … ,Xn), którego kaŜda
współrzędna jest zmienną losową, będziemy nazywać n-wymiarową zmienną losową
lub n-wymiarowym wektorem losowym.

Dystrybuantą n-wymiarowej zmiennej losowej (X1, X2, … ,Xn) nazywamy funkcję n zmiennych
F:Rn →[0,1], określona wzorem:
F( x ,x ,...,x ) = P ω
ω <
ω <
ω <

1
2
n
{( : X ( ) x , X ( ) x ,...,X ( ) x
1
1
2
2
n
n }) .

Jeśli badamy zmienną losową wielowymiarową typu skokowego, posługujemy się podobnie
jak dla zmiennej losowej funkcją rozkładu prawdopodobieństwa:

p(x1, x2, … , xn)= P({ω: X1(ω)<x1, X2(ω)<x2, … ,Xn(ω)<xn),

dla wszystkich n-tek (x1, x2, … , xn), dla których to prawdopodobieństwo jest dodatnie.

W przypadku wielowymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego, podobnie jak to mamy
dla zmiennej losowej, wprowadzamy funkcję gęstości f dla n-wymiarowej zmiennej losowej
nastepująco:
x
x
1
n
(
F x , x , ... , x ) = ∫... ∫ f (x , ... , x )dx .. d
. x .
1
2
n
1
n
1
n
−∞ −∞
Bardzo waŜnym pojęciem związanym z n-wymiarową zmienną losową jest niezaleŜność
zmiennych losowych.

Zmienne losowe X1, X2, … ,Xn są niezaleŜne, jeŜeli dla dowolnych rzeczywistych x1, x2, … xn
zdarzenia: {ω: X1(ω)<x1}, {ω: X2(ω)<x2} ,… ,{ω: Xn(ω)<xn} są zespołowo niezaleŜne.

Z definicji tej wynika, Ŝe jeŜeli F jest dystrybuantą wektora losowego (X1, X2, … ,Xn),
którego współrzędne są niezaleŜne, to dystrybuanta tego wektora jest równa iloczynowi
dystrybuant poszczególnych zmiennych, tzn.
F(x1, x2, … , xn)= F1(x1) F2(x2) … Fn(xn).

Bardziej szczegółowo omówimy problem zaleŜności i niezaleŜności zmiennych losowych na
przykładzie zmiennej losowej dwuwymiarowej.

Niech F będzie dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y). JeŜeli (X,Y) jest typu
ciągłego, to podobnie jak dla zmiennej losowej jednowymiarowej, dystrybuantę tej zmiennej
dwuwymiarowej moŜemy zapisać w postaci:
x y
(
F x, y) = ∫ ∫ f (u, v)dudv ,
−∞−∞
gdzie f jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X,Y).
Strona 52
5
WIELOWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE (WEKTORY LOSOWE)
Uwaga 1.
Funkcja gęstości f spełnia warunek:
+∞+∞
∫ ∫f(x,y)dxdy =1
−∞−∞
oraz w punktach ciągłości f mamy:
2
∂ (
F x, y) = f(x,y).
x
∂ y
∂

JeŜeli oznaczymy przez FX i FY dystrybuanty kaŜdej ze współrzędnych w wektorze
losowym(X,Y), to mamy:
Fx(x) = P(X <x ) = P(X < x, Y < ∞)=F(x,∞)
oraz
FY(x) = P(Y <y ) = P(X < ∞, Y < y)=F(∞,y).
Funkcje FX i FY nazywamy dystrybuantami brzegowymi wektora losowego (X,Y).